对基本型的深度学习,拓展思维宽度

来源:原创 发布时间:2021-01-18 10:56:49 浏览次数: 【字体:


如何借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,是数学的核心素养之一。作为老师,我们要让学生学会用数学的眼光观察世界,发展数学抽象和直观想象的素养。直观想象也就是一种数学抽象,把直观的图形,抽象成一个数学问题,然后加以解决。同时它又包含着从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命题,即逻辑推理。主要包含:从特殊到一般的推理,以归纳、类比为主。另一类是从一般到特殊的推理,主要是演绎。

所以对于数学的学习,重要的是让学生学会解决问题的方法,能够教会学生善于归纳相关类型,通过类型对比,找出题目可变化的规律。这样我们就可以达到以少胜多,提高学习的效率。我们经常看到,一个数学高手,从来都没有伏案苦读,而更多的是休闲状态。其实这里面有两个要素:一是他的学习效率很高,同样的习题,一般同学用1小时,数学高手可能只需要20分钟;二是他善于归纳类型,能够通过数学联想,把相似的题目进行类比,然后用特殊到一般进行归纳,从而更快的找到解决问题的方法思路。

一个简单的案例:(   )×(    )=(   )。这是一个贯穿中小学数学的模型,在这个模型中,我们可以随意填数,比如2×6=12;7×8=56;……。在编写题目的时候,也有成千上万种,例:2个盒子,每个盒子装6个苹果,一共有多少个苹果?;也可以是一个反比例函数令x=2,y=6,求K的值?……。但是无论它怎么变,都无法逃脱这个数学模型。我们只需要简单的归纳总结:一个数的几倍是多少?几个几是多少?反比例关系。无论你如何编,基本上是逃不出这几个范畴。

所以一个类型的深入研究,往往胜过你去做千万道数学题。反过来说,做数学题不去归纳总结,基本等同0.

对于数学试题来说,大家也许莫过于遇到下面这种类型的选择题最让人头疼了吧。

图例:

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这种题目不仅仅是让一般的数学选手感到头疼,就是数学顶尖高手,也会头疼,但是由于它是一个选择题,数学高手遇到此题,一般会选择用特殊到一般的方法,去验证结论,而不是去证明结论。大部分同学遇到此题一般选择的是逐一证明,这就相当于做了4道大题,而这种题目级别往往相当于中考题中的23或24题的重量。

所以对几何基本型的研究就需要在平时下足功夫,作为教师,要善于对基本型进行适当的拓展和延伸,从思维的宽度和纵深下功夫,打开学生的思维视野。上面这道题无论是人教版,还是北师大版的教材,都有这个基本型,可见此题的重要性。对于中考也好,达标检测也好,出题人在出题的时候,一定是依据课本习题,进行深加工,并进行综合,以检验学生的数学核心素养。

针对此题,我们可以找出12个结论:

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证明一:BE=BC;BA=BD;∠ABE=∠CBD可证△ABE≌△DBC(SAS

a2e255d666cf40b5bd7e4af7c9384a65.Png同时此结论当△BEC产生旋转时,也一样成立。如图:

07a5fd4cdd824affb05e90d58fc9f097.Pngf6d2f17ed8e24d0f916587a4d08a8683.Png

 

 

 

 

 

 

 

 

 

证明二:由第一个结论可以直接推出第二个结论。同样当△BEC产生旋转时,结论同样成立。

证明三:由∠ABE=600,∠CBE=600,可推出∠GBF=600

证明四:由结论一可知,∠BAG=∠BDF,再加上∠ABD=∠DBF,AB=BD,可证明△ABG≌△DBF

证明五:由证明四的方法同理可证△BFC≌△BGE

证明六:由结论四直接推出BF=BG,连结GF,由于∠GBF=600,所以可证△DBF是正三角形。

证明七:利用证明六的结论,可以推出GF//AC(内错角相等两直线平行)

证明八:由证明四可接着推出∠AGB=∠BFD,所以GBFH四点共圆(外角等于内对角则四点共圆)

证明九:GBFH四点共圆,可以推出∠AHC+∠DBE=180度,∠DBE=60度,所以∠AHC=120度。

证明十:由GBFH四点共圆,△DBF是正三角形,可知BG=BF,所以HB平分∠AHC(在同圆或等圆中,等弦对等圆周角)

利用证明十的结论,可以推出ADHB,CBHE分别四点共圆(外角等于内对角,则四点共圆)

证明十一:利用证明十的结论,可以用同弧所对的圆周角相等,推出△DHGABG;HEFBCF

证明十二:如图

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构造等边三角形BHM,因为HB平分∠AHC,∠AHC=120度,所以具备构造正三角形的条件。

所以BM=BH=HM,又知AB=BD,我们只需要证明△ABM≌△DBH,推出AM=DH即可

而△ABM≌△DBH的关键就是突破∠1=∠3

我们知道:∠1+∠2=60度,∠2+∠3=60度

所以∠1=∠3

所以△ABM≌△DBH(SAS

所以AM=DH

所以AH=BH+HD

同理可推导HC=BH+HE

在这道题里面其实还存在很多小的基本型,比如∠1+∠2=∠3+∠2之类的,虽说形状不同,但实质可以归纳为一类。同时还涉及截长补短,8字相似形等诸多小的基本型。

对基本型的综合研究,往往能够使知识凝结成块,形成块状思维,块状思维可以让学生看到一道综合题时,不是一步步的分析,而是象集装箱一样,一整箱一整箱的提取,或是象集成线路一样,直接就是一块电路板,拿过来拼装就可以了。

 

 

 

终审:一小张永胜
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